Struktur radikal dan radikal prima pada hemiring

Himpunan tak kosong dengan dua operasi biner disebut ring apabila memenuhi grup komutatif dalam penjumlahan, semigrup dalam perkalian, serta memenuhi sifat distributif. Apabila syarat pada penjumlahan yaitu eksistensi elemen invers dikurangi sementara syarat pada perkalian yaitu eksistensi elemen identitas diperkuat, maka konsep ring dapat digeneralisasi menjadi semiring. Selanjutnya, semiring dapat digeneralisasikan menjadi hemiring. Hemiring adalah himpunan tak kosong H yang dilengkapi dengan dua operasi biner (penjumlahan dan perkalian) yang membentuk monoid komutatif dalam penjumlahan, semigrup dalam perkalian, memenuhi sifat distributif, serta memiliki properti h.0=0=0.h. Himpunan bagian tak kosong I dari hemiring H disebut ideal jika memenuhi aksioma a,b∈I, berlaku a+b∈I serta a∈I dan h∈H, berlaku ha∈I dan ah∈I. Terdapat beberapa jenis ideal seperti ideal prima, semiprima, dan maksimal. Ideal sejati A dari hemiring H yang termuat dalam kumpulan dari ideal prima disebut radikal prima A yang dinotasikan dengan √A. Dengan menambahkan radikal pangkat dari suatu ideal semiprima pada hemiring H, penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana sifat dari ideal radikal hemiring, dan sifat radikal prima pada suatu hemiring. Metode yang digunakan dalam penelitian ini yaitu studi literatur yang berkaitan dengan radikal pada hemiring. Sehingga penelitian ini menghasilkan sifat radikal dari suatu ideal pada hemiring H, yaitu (1) Jika P adalah ideal prima dari hemiring H, maka P=√P; (2) Jika P adalah ideal prima dari hemiring H, maka √(P^n )=P, untuk semua bilangan bulat positif n; (3) Ideal A dari hemiring H adalah semiprima jika dan hanya jika √A=A; (4) Jika A adalah ideal semiprima dari hemiring H, maka √(A^n )=A untuk semua bilangan bulat positif n. Selanjutnya, sifat radikal prima pada hemiring yaitu Jika rad(H) adalah radikal prima dari hemiring H, maka (1) rad(H) adalah irisan dari semua ideal prima di H; (2) rad(H) adalah ideal semiprima yang terkandung dalam setiap ideal semiprima di H.